遗忘的数学知识

1.欧拉公式

​ 欧拉公式的证明可以用幂级数展开式来证明，如下：

2.二维向量与复数的对应关系

定义

设二维向量：

我们可以把它写成一个复数：

实部 x 对应向量的 x 方向

虚部 y 对应向量的y方向

这样，每个二维向量就对应复平面上的一个点，或者说是一个复数。

优势

1.加法对应向量加法：

若：v1=(x1,y1)，v2=(x2,y2)，对应复数：z1=x1+iy1，z2=x2+iy2

复数加法：z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2)

恰好等于向量加法v1+v2

2.旋转对应乘以e^iθ^

​ 二维向量旋转θ弧度：

​ 写成复数形式为：

​ 这样旋转就变成了复数乘法，非常方便。

3.模长对应向量长度：

3.旋转公式推导

二维矩阵逆时针旋转θ 的公式为：

推导过程如下：

设二维向量：

在平面旋转θ 弧度得到v′=(x′,y′)。

如果把v写成极坐标的形式：

旋转 θ 后：

利用三角函数加法公式

把旋转公式写成矩阵形式为：

4.二维向量做内积

给两个二维向量，它们的内积定义为：

几何意义为投影×长度：

如果把 向量 a 沿着向量 b 的方向投影,则它的大小就是a在b方向上的影子：

再乘上b的长度：

这可以表示a在b方向上有多少成分×b的强度

内积越大，则表示两个向量越相似：

在self_attention的计算当中，则可以表示Query与Key的对齐程度。

5.三角函数的性质

6.内积与外积的概念